Fasor

Un fasor o vector giratorio es una constante en número complejo que representa la amplitud compleja (magnitud y fase) de una función de tiempo sinusoide. Usualmente se expresa en como una exponencial, como un número complejo o como un vector. Los fasores se utilizan en ingeniería para simplificar los cálculos con sinusoides, ya que permiten reducir un problema de ecuaciones diferenciales a uno algebráico cuando la frecuencia del sistema es constante.

Introducción

Una sinusoide u onda seno está definida como una función de la forma (la razón de utilizar una onda coseno en lugar de un seno será entendida posteriormente)

$y=Acos{(omega t+phi)},!$

donde

y es la cantidad que varía con el tiempo
$φ$ es una constante (en radianes) conocida como el ángulo de fase de la sinusoide
A es una constante conocida como la amplitud de la sinusoide. Es el valor de pico de la función.
ω es la frecuencia angular dada por $ω = 2π f$ donde f es la frecuencia.
t es el tiempo.

Esto puede ser expresado como

$y=Re Big(Abig(cos{(omega{}t+phi)}+isin{(omega t+phi)}big)Big),!$

donde

i es la unidad imaginaria $sqrt{-1}$ . En ingeniería electrónica se usa "j" en lugar de "i" para evitar las confusiones que se producirían con el mismo símbolo que se usa para designar la intensidad de la corriente eléctrica.
$Re (z)$ da la parte real del número complejo z

De forma equivalente, según la fórmula de Euler,

$y=Re(Ae^{i(omega{}t+phi)}),!$

$y=Re(Ae^{iphi}e^{iomega{}t}),!$

Y, la representación fasor de esta sinusoide se define de la forma siguiente::

$Y = Ae^{i phi},$

de forma que

$y=Re(Ye^{iomega{}t}),!$

Así, el fasor Y es el número complejo constante que contiene la magnitud y fase de la sinusoide. Para simplificar la notación, los fasores se escriben habitualmente en notación angular:

$Y = A angle phi ,$

Dentro de la Ingeniería Electrónica, el ángulo fase se especifica habitualmente en grados en lugar de en radianes y la magnitud suele ser el valor eficaz en lugar del valor de pico de la sinusoide.

Cálculo de fasores

Cuando las sinusoides se representan como fasores, las ecuaciones diferenciales se convierten en ecuaciones algebraicas. Esto se produce debido a que la función exponencial es la función unidad de la operación derivada:

$frac{d}{dt}(e^{j omega t}) = j omega e^{j omega t}$

De esta forma, la operación derivada sólo cambia la amplitud compleja. Tomando la parte real en ambos lados de la ecuación anterior, obtenemos el siguiente resultado::

$frac{d}{dt} cos{omega t} = - omega sin{omega t},$

Entonces, la derivada en el tiempo de la sinusoide se convierte, en representación fasorial, en la multiplicación por la frecuencia compleja. De forma similar, integrar un fasor se corresponde con dividir por la frecuencia compleja.

Como ejemplo podemos considerar la siguiente ecuación diferencial que resulta de analizar la tensión en un condensador en un circuito RC:

$frac{dv_C}{dt} + frac{1}{RC}v_C = frac{1}{RC}v_S$